[資訊系刊98'11]淺談3D繪圖原理

淺談3D繪圖原理

【by vfighter】

隨著電腦硬體的進步，CPU與顯示卡的速度也都獲得了相當大的提升，如一般的PC使用者，現在可以利用3D Studio或是AutoCAD等套裝軟體輕鬆做到以往工作站級的3D繪圖及動畫，更早在多年以前，立體繪圖就已經被利用來拍攝電影，像『魔鬼終結者』、『星際大戰』、『玩具總動員』等，此外遊戲界也隨著巫毒卡的出現而不斷向3D市場堆進，就算你不知道VR快打、UnReal、古墓奇兵、MotorRacer，也總該聽過DOOM吧！這個一腳踢開第一人稱射擊大門的經典之作，當時不知道使多少玩家變成血腥暴力的屠殺狂呀！而研究領域中，立體視覺也是極力開發的對象，像是WWW上的VRML以及虛擬實境，都在為立體環境的真實性與即時性做改良。說了那麼多，到底如何在電腦上建立一個3D模型，而那些動畫又是如何產生的呢？這就牽涉到討厭的數學了，我們的目標其實很簡單，就是要把一個建立好的３D模型想辦法在2D的螢幕上表示出來，首先，假設三度空間的世界用X,Y,Z的座標表示，如圖（一），那片矩形就代表了我們的螢幕，假設眼睛是直視原點0，θ表示對X軸的旋轉角度，ψ表示對Z軸的旋轉角度，Rho為眼睛到原點的距離，p(θ,ψ,Rho)為極座標表示法，現在利用矩陣做座標變換，

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<圖一>

將圖（一）的座標變成圖（二）的座標，以Z為軸轉-(90-θ)度，再以X為軸轉(180-ψ)度，然後將X反向，因此若點A在圖（一）中為(X0,Y0,Z0)，則到圖（二）後就變成了：

[-1 0 0] [1          0               0       ][cos(θ-90) sin(θ-90)   0][X0]
[ 0 1 0] [0 cos(180-ψ) sin(180-ψ) ][-sin(θ-90) -cos(θ-90) 0][Y0]
[ 0 0 1] [0 -sin(180-ψ) cos(180-ψ)][     0               0         1][Z0]

   [      -sinθ           cosθ         0 ] [X0]
= [-cosθcosψ   -sinθcosψ sinψ] [Y0]
    [-cosθsinψ    -sinθcosψ -cosψ] [Z0]

<圖二>

      最後，把眼睛作為原點，如圖（三），再做一次座標變換，並令成新的座標(Xe,Ye,Ze)：
[Xe]    [    -sinθ            cosθ          0 ][X0]    [ 0 ]
[Ye] ＝[-cosθcosψ -sinθcosψ   sinψ][Y0]+ [ 0 ]
[Ze]    [-cosθsinψ   -sinθcosψ -cosψ][Z0]     [Rho]

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<圖三>

用等比例算出真正的螢幕顯示點，並調整座標以符合螢幕座標：

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好啦！這樣子就大功告成啦，日後只要只要把3D座標輸入為(X0,Y0,Z0)，經過我們推導的公式就可以產生2D的座標(SX,SY)了。聰明的你到這裡一定會想到：要是改變θ或ψ的值會發生什麼事情呢?沒錯，這樣就可以使我們用不同的角度去觀察物體，在我們不動的情形下，感覺就像物體自己在旋轉一樣，θ便控制了左右旋轉，ψ則控制上下翻轉，同理，Rho與d控制物體的遠近，(cx,cy)做上下左右的平移。利用這些轉換，我們可以在製作3D模型（如：動物、建築）之後，做全範圍的檢視，圖（四）就是一個例子，把(X0,Y0,Z0)的輸入用函數取代，這樣就可以輕鬆的做出立體的函數圖形，並且還可以旋轉、平移及拉近拉遠唷！

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<圖四>

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